非线性薛定谔系统具有同步与分离共存分量的无穷多解

本文考虑 $R^3$ 中的如下非线性薛定谔系统：\begin{align*} -\Delta u_j +P_j(x) u=\mu_j u_j^3+\sum\limits_{i=1,i\neq j}^N\beta_{ij}u_i^2u_j, \end{align*} 其中 $N\geq3$，$P_j$ 为非负径向势，$\mu_j>0$ 且 $\beta_{ij}=\beta_{ji}$ 为耦合常数。此类系统在过去十年被广泛研究，已构造出许多纯同步或纯分离解，但关于同步与分离共存正解的讨论甚少。利用Lyapunov-Schmidt约化方法，我们构造了具有同步与分离共存新型解。与已有文献结果相比，新颖性有三：我们证明了无穷多个非径向正解及变号向量解的存在性，其中部分分量同步而与其他分量分离；能量水平可任意大；且我们的方法对任意 $N \geq 3$ 均适用。