耦合薛定谔方程具有共享分量节点数的多重节点解

我们研究排斥耦合机制下耦合非线性薛定谔方程节点解的结构。在其他结果中，对如下$N$个方程的耦合系统，我们证明了存在无穷多共享相同分量预设节点数的节点解 \begin{equation}\label{ab} \left\{ \begin{array}{lr} -{\Delta}u_{j}+\lambda u_{j}=\mu u^{3}_{j}+\sum_{i\neq j}\beta u_{j}u_{i}^{2} \,\,\,\,\,\,\,\, in\ \W , u_{j}\in H_{0,r}^{1}(\W), \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,j=1,\dots,N, \end{array} \right. \end{equation} 其中$\W$为$\mathbb R^n$（$n\leq 3$）中的径向域，$\lambda>0$，$\mu>0$，且$\beta <0$。更确切地说，令$p$为$N$的素因子并记$N=pB$。假设$\beta\leq-\frac{\mu}{p-1}$。则对任意给定的非负整数$P_{1},P_{2},\dots,P_{B}$，(\ref{ab})有无穷多解$(u_{1},\dots,u_{N})$，使得每个解均满足同一性质：对$b=1,...,B$，$u_{pb-p+i}$恰好变号$P_b$次（$i=1,...,p$）。该结果揭示了排斥耦合机制下因解的分量间分离所导致的复杂解结构。我们的方法是将热流方法作为形变，结合利用$\mathbb Z_p$群作用指标的对称山路定理极小极大构造。方法具有鲁棒性，也可在不假设任何耦合对称性的情况下给出解的存在性。