耦合薛定谔方程的多重变号解与半节点解

我们研究以下来自数学物理若干模型的耦合薛定谔方程组：\n\begin{displaymath} \begin{cases}-\Delta u_1 +\la_1 u_1 = \mu_1 u_1^3+\beta u_1 u_2^2, \quad x\in \Omega,\\ -\Delta u_2 +\la_2 u_2 =\mu_2 u_2^3+\beta u_1^2 u_2, \quad x\in \Om,\\ u_1=u_2=0 \,\,\,\hbox{on \,$\partial\Om$}.\end{cases}\end{displaymath}\n这里$\Om\subset\RN (N=2, 3)$是一个光滑有界区域，$\la_1, \la_2$, $\mu_1, \mu_2$均为正常数。我们证明，对每个$k\in\mathbb{N}$，存在$\bb_k>0$，使得对于每个固定的$\bb\in (0, \bb_k)$，该系统至少有$k$个变号解（即两个分量均变号）和$k$个半节点解（即一个分量变号，另一个为正）。