竞争扩散椭圆系统的变号解与最优划分问题

本文证明了具有竞争相互作用的$m$个薛定谔方程系统存在无穷多个变号解：$$-\Delta u_i+a_i u_i^3+\beta u_i \sum_{j\neq i} u_j^2 =\lambda_{i,\beta} u_i \quad u_i\in H^1_0(\Omega), \quad i=1,...,m$$其中$\Omega$是有界区域，$\beta>0$且$a_i\geq 0\ \forall i.$此外，对于$a_i=0$，我们展示了与该系统相关的临界能量与最优划分问题之间的关系：$$\mathop{\inf_{\omega_i\subset \Omega \text{open}}}_{\omega_i\cap \omega_j=\emptyset\forall i\neq j} \sum_{i=1}^{m} \lambda_{k_i}(\omega_i),$$其中$\lambda_{k_i}(\omega)$表示$-\Delta$在$H^1_0(\omega)$中的第$k_i$个特征值。在$k_i\leq 2$的情形下，我们证明当竞争参数$\beta$趋于$+\infty$时，最优划分问题表现为一个极限临界值。