三维空间中具有临界指数的d-耦合薛定谔系统的最小能量正解

在本文中，我们考虑具有临界指数的耦合薛定谔系统：\begin{equation*} \begin{cases} -\Delta u_i+\lambda_{i}u_i=\sum\limits_{j=1}^{d} \beta_{ij}|u_j|^{3}|u_i|u_i \quad ~\text{ in } \Omega,\\ u_i \in H_0^1(\Omega) ,\quad i= 1,2,...,d. \end{cases} \end{equation*} 此处，$\Omega\subset \mathbb{R}^{3}$ 为光滑有界域，$d \geq 2$，对每个 $i$ 有 $\beta_{ii}>0$，且对 $i \neq j$ 有 $\beta_{ij}=\beta_{ji}$。我们研究一类Brézis-Nirenberg型问题：$-\lambda_{1}(\Omega)<\lambda_{1},\cdots,\lambda_{d}<-\lambda^*(\Omega)$，其中 $\lambda_{1}(\Omega)$ 为带Dirichlet边界条件的 $-\Delta$ 的第一特征值，且 $\lambda^*(\Omega)\in (0, \lambda_1(\Omega))$。我们通过变分论证，对弱合作情形（$\beta_{ij}>0$ 较小）与纯竞争情形（$\beta_{ij}\leq 0$）获得了该系统最小能量正解的存在性。证明通过对方程个数进行数学归纳完成，且需要对该系统更精细的能量估计。此外，我们给出了一新的不存在性结果，揭示了与高维情形 $N\geq 5$ 相比的一些不同现象。这似乎是首篇对三维临界薛定谔系统最小能量正解的存在性给出较为完整刻画的论文。