上临界 Choquard 方程在三维中的解的存在性与渐近行为

本文关注上临界 Choquard 方程\n\begin{equation*}\n\begin{cases}\n-\Delta u+au=\displaystyle\left(\int_{\Omega}\frac{u^{6-\alpha}(y)}{|x-y|^\alpha}dy\right)u^{5-\alpha}&\mbox{in}\ \Omega, \quad u>0 \ &\mbox{in}\ \Omega, \quad u=0 \ &\mbox{on}\ \partial\Omega,\n\end{cases}\n\end{equation*}\n\n其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^{3}$ 为有界域且边界为 $C^{2}$，$\alpha \in (0,3)$，$a \in C(\overline{\Omega}) \cap C^{1}(\Omega)$，且算子 $-\Delta + a$ 为 coercive。我们首先证明以下三个性质等价：最小能量解的存在性、关联最小化问题中严格不等式的成立、以及罗宾函数在域内某处的正性。由此自然定义临界函数 $a$。在 $a$ 为临界且 $V \in L^{\infty}(\Omega)$ 时，对扰动 $a \mapsto a + \varepsilon V$ 我们证明最小能量解存在。进一步，我们建立细化能量估计并描述其渐近轮廓。