具有势阱的临界Choquard方程

本文中，我们关注以下非线性Choquard方程 $$-\Delta u+(\lambda V(x)-\beta)u =\big(|x|^{-\mu}\ast |u|^{2_{\mu}^{\ast}}\big)|u|^{2_{\mu}^{\ast}-2}u\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^N,$$ 其中 $\lambda,\beta\in\mathbb{R}^+$，$0<\mu<N$，$N\geq4$，$2_{\mu}^{\ast}=(2N-\mu)/(N-2)$ 是由 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式给出的上临界指数，非负势函数 $V\in \mathcal{C}(\mathbb{R}^N,\mathbb{R})$ 使得 $\Omega :=\mbox{int} V^{-1}(0)$ 是一个具有光滑边界的非空有界集。若 $\beta>0$ 是一个使得算子 $-\Delta +\lambda V(x)-\beta$ 非退化的常数，我们证明了当 $\lambda$ 足够大时，基态解存在且局域在势阱 int $V^{-1}(0)$ 附近，并刻画了当参数 $\lambda$ 趋于无穷时解的渐近行为。此外，对于任意 $0<\beta<\beta_{1}$，我们能够利用 Lusternik-Schnirelmann 畴数理论证明多重解的存在性，其中 $\beta_{1}$ 是 $-\Delta$ 在 $\Omega$ 上带有 Dirichlet 边界条件的第一特征值。