大凸域上带势与不均匀非线性的薛定谔方程的归一化解

本文解决了[Bartsch, Molle, Rizzi, Verzini: 带势的质量超临界薛定谔方程的归一化解, Comm. Part. Diff. Equ. 46 (2021), 1729-1756]中提出的一个公开问题，即关于带势与不均匀非线性的薛定谔方程归一化解的存在性。我们考虑问题 $$-\Delta u+V(x)u+\lambda u = |u|^{q-2}u+\beta |u|^{p-2}u, \quad \|u\|^2_2=\int|u|^2dx = \alpha,$$ 分别在 $\mathbb{R}^N$ 以及域 $r\Omega$ 上，其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 为开有界凸域且 $r>0$ 较大。指数满足 $2<p<2+\frac4N<q<2^*=\frac{2N}{N-2}$，从而非线性项由质量次临界与质量超临界项组合而成。由于势的存在，基于 Pohozaev 恒等式的现有标准方法无法使用。我们发展了一种稳健的方法来研究带势非线性薛定谔方程归一化解的存在性，并给出 $V$ 上使归一化解存在的条件。即便在 $\beta=0$ 的情形下，我们的结果也是新的。