有界域中含组合非线性项的薛定谔方程规范化解的存在性与不存在性

本文考虑以下方程的解的存在性、多重性和不存在性：\begin{equation*} \begin{cases} \begin{aligned} &-\Delta u+\omega u=\mu u^{p-1}+u^{q-1},~ u>0 \quad &&\text { in } \Omega, \\ &u=0 &&\text { on } \partial\Omega, \\ \end{aligned} \end{cases} \end{equation*} 其中$L^2$范数$\|u\|_2^2=\rho$被指定，$N\ge 1$，$\rho>0$，$\mu\in \mathbb{R}$，$1<p\le q$，且$\Omega\subset\mathbb{R}^N$为有界光滑区域。参数$\omega\in\mathbb{R}$作为拉格朗日乘子出现。首先，当$2<p\le q\le \frac{2N}{(N-2)^+}$且$\rho$较小时，我们建立了能量局部极小值的存在性。此外，当$\mu\ge 0$且$\Omega$为星形区域时，利用单调性技巧和Pohozaev恒等式，我们证明存在第二个解，该解为山路型。其次，当$\mu\ge 0$，$N\ge 3$，$1<p\le 2$，$q\ge \max\left\{\frac{2N}{N-2}, 3\right\}$且$\Omega$为凸区域时，利用移动平面法，我们证明了对大$\rho$不存在规范化解。最后，当$\mu=0$，$N\ge 3$，$q=\frac{2N}{N-2}$且$\Omega$为球时，我们通过延拓论证给出了Brézis-Nirenberg问题规范化解的一个二分性结果。