可归一化小解在扩张域中的 Schrödinger-Poisson 系统：解的个数与渐近行为

给定光滑有界域 $\Omega\subset \mathbb R^3$，我们考虑以下非线性 Schrödinger-Poisson 类型系统\n\n\begin{equation*} \left\\{ \begin{array}{ll} -\Delta u+ \phi u -\abs{u}^{p-2}u = \omega u & \quad \text{在 } \lambda\Omega, \\ -\Delta\phi =u^{2}& \quad \text{在 }\lambda\Omega, \\ u>0 & \quad \text{在 }\lambda\Omega, \\\n u =\phi=0 & \quad \text{在 }\partial (\lambda\Omega), \\ \int_{\lambda\Omega}u^{2} \,\text{d} x=\rho^2 \end{array} \right\end{equation*}\n\n在扩张域 $\lambda\Omega\subset \mathbb R^{3}, \lambda>1, p\in (2,3)$ 中，变量为 $(u,\phi,\omega)$。我们证明对于任意大的扩张参数 $\lambda$ 和任意小的质量 $\rho>0$，解的个数至少为 $\lambda\Omega$ 的 Ljusternick-Schnirelmann 范数。此外我们证明当 $\lambda\to+\infty$ 时，所找解收敛到整个空间 $\mathbb R^{3}$ 中问题的基态。