$R^3$ 中具有变号势的定态非线性 Schrödinger-Poisson 系统的束缚态

我们研究以下 Schrödinger-Poisson 系统 (P_λ) {ll} -Δu + V(x)u + λφ(x)u = Q(x)u^p, x∈R^3 \ -Δφ = u^2, lim_{|x|→+∞}φ(x)=0, u>0, 其中 λ≥0 为参数，1 < p < +∞，V(x) 与 Q(x) 为 L^∞(R^3) 中的变号或非正函数。当 V(x)≡Q(x)≡1 时，D.Ruiz 证明了当 p∈(2,5) 时 (P_λ) 总存在正径向解，但当 p∈(1,2] 时，仅当 λ>0 足够小时 (P_λ) 才有解，且若 λ≥1/4 则无非平凡解。利用上下解方法，我们证明了对某些 L^∞(R^3) 中的函数 V(x) 和 Q(x)，存在 λ_0>0 使得当 λ∈[0,λ_0) 时，p∈(1,+∞) 的 (P_λ) 总存在束缚态（H^1(R^3) 解）。此外，对于每个 λ∈[0,λ_0)，当 λ→0 时，(P_λ) 的解 u_λ 沿某子序列在 H^1 中收敛到 (P_0) 的解。