强不定周期 Schrödinger-Poisson 系统非平凡解的存在性

我们考虑如下 Schrödinger-Poisson 系统：\n\begin{eqnarray}\left\{\begin{array} [c]{ll} -\Delta u+V(x) u+|u|^{p-2}u=\lambda \phi u, & \mbox{in}\mathbb{R}^{3},\\ -\Delta\phi= u^{2}, & \mbox{in}\mathbb{R}^{3}. \end{array} \right.\nonumber \end{eqnarray}\n其中 $\lambda>0$ 为参数，$3< p<6$，$V\in C(\mathbb{R}^{3})$ 关于 $x_j$ ($j = 1,2,3$) 是 $1$-周期的，且 $0$ 位于算子 $-\Delta+V$ 的谱隙中。该系统是强不定的，即算子 $-\Delta+V$ 具有无限维的负空间与正空间，并且非线性项 $|u|^{p-2}u$ 与 $\lambda \phi u$ 之间存在竞争性相互作用。此外，对应于该系统的泛函不满足 Palais-Smale 条件。利用一个新的无限维连接定理，我们证明了对于充分小的 $\lambda>0$，该系统存在一个非平凡解。