渐近线性周期 Schrödinger 方程非平凡解的存在性

我们研究 Schrödinger 方程：\begin{equation} - \Delta u+V(x)u=f(x,u) ,\qquad u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N}),\nonumber \end{equation} 其中 $V$ 是周期的，$f$ 关于 $x$ 变量是周期的，0 位于算子 $-\Delta+V$ 谱的一个间隙中，且当 $|u|\rightarrow+\infty$ 时 $f$ 是渐近线性的。我们证明了在关于 $f$ 的某些渐近线性假设下，该方程存在非平凡解。我们对 $f$ 的假设不同于 G. B. Li 和 A. Szulkin 提出的经典假设。