渐近周期 Schrödinger 方程的非 Nehari 流形方法

我们考虑半线性 Schrödinger 方程 $$\left\{ \begin{array}{ll} -\triangle u+V(x)u=f(x, u), \ \ \ \ x\in {\R}^{N}, u\in H^{1}({\R}^{N}), \end{array} \right.$$ 其中 $f$ 是超线性、次临界非线性项。我们主要研究 $V(x)=V_0(x)+V_1(x)$ 的情形，其中 $V_0\in C(\mathbb{R}^N)$，$V_0(x)$ 关于每个 $x_1, x_2, \ldots, x_N$ 是 1-周期的，且 $\sup[\sigma(-\triangle +V_0)\cap (-\infty, 0)]<0<\inf[\sigma(-\triangle +V_0)\cap (0, \infty)]$，$V_1\in C(\mathbb{R}^N)$ 且 $\lim_{|x|\to\infty}V_1(x)=0$。受 Li 等人 \cite{LWZ}、Pankov \cite{Pa} 以及 Szulkin 和 Weth \cite{Sz} 先前工作的启发，我们发展了一种更直接的方法来推广 \cite{Sz} 中的主要结果，即去除了关于 $f(x, t)/|t|$ 的 Nehari 型假设中“严格递增”的条件。与 Nehari 流形方法不同，我们方法的主要思想在于利用对角线法，在 Nehari-Pankov 流形 $\mathcal{N}^{0}$ 之外寻找能量泛函的极小化 Cerami 序列。