非线性薛定谔方程的 KAM 理论

我们考虑周期边界条件下的 $d$ 维非线性薛定谔方程：$-i\dot u=-\Delta u+V(x)*u+\ep \frac{\p F}{\p \bar u}(x,u,\bar u), \quad u=u(t,x), x\in\T^d$，其中 $V(x)=\sum \hat V(a)e^{i\sc{a,x}}$ 是一个解析函数且 $\hat V$ 为实数，$F$ 是关于 $\Re u$、$\Im u$ 和 $x$ 的实解析函数。（该方程是“真实”NLS 方程的一个流行模型，其中卷积项 $V*u$ 替代了势项 $Vu$。）对于 $\ep=0$，该方程是线性的并具有时间准周期解 $u$，$$u(t,x)=\sum_{a\in \AA}\hat u(a)e^{i(|a|^2+\hat V(a))t}e^{i\sc{a,x}} \quad (|\hat u(a)|>0),$$ 其中 $\AA$ 是 $\Z^d$ 的任意有限子集。我们将把 $\omega_a=|a|^2+\hat V(a)$，$a\in\AA$，视为域 $U\subset\R^{\AA}$ 中的自由参数。这是一个具有外部参数的无限自由度哈密顿系统，虽然是简并的，但我们将描述一个 KAM 理论，该理论在一般条件下将产生以下结论：如果 $|\ep|$ 足够小，则存在 $U$ 的一个大子集 $U'$，使得对于所有 $\omega\in U'$，解 $u$ 持续存在为时间准周期解，其所有李雅普诺夫指数均为零，且其线性化方程可约化为常系数。