一维混合非线性 Schr"odinger方程

我们考虑一维非线性 Schr"odinger方程 $$iu_t + u_{xx} + \mathcal{N}(u)u=0, \quad x,t \in \mathbb R,$$ 其中非线性项表示为可能无限的幂次之和: $$\mathcal{N}(u) = \sum d_k |u|^{\alpha_k}, \quad \alpha_k > 0.$$ 我们首先在一定加权初始数据的子集上($\subset H^1 (\mathbb R)$)对该方程进行任意正幂次 $\alpha_k$ 的局部正则性分析。为此，我们采用 Cazenave-Naumkin 方法，从而避免使用 Strichartz 估计。随后，利用伪共轭变换，我们将局部结果扩展到具有二次相位的初始数据的全局解。进一步，我们考察这些全局解的渐近行为，并证明对于具有二次相位 $e^{ib|x|^2}$ 的数据，在 $H^1(\mathbb R)$ 中的 sufficiently large 正 $b$ 时进行散射。考虑无限和非线性项的一个优势是能够考虑指数非线性项，如 $e^{\gamma |u|^{k}} u$，以及正弦或余弦非线性项，并在这些情况下获得正则性结果，这是对大多数这些非线性项的首次结果。最后，我们对各种混合非线性示例进行数值模拟，包括双重非线性和指数非线性，然后研究具有正或负初始 $b$ 的二次相位数据的解的行为。进一步，我们还表明，具有混合非线性的 NLS 方程中的基态不再提供散射与有限时间爆炸的尖锐阈值，相反，该方程具有更丰富的动力学。