当 $d\ge3$ 时质量临界非均匀 NLS 的整体适定性与散射

我们证明了对于大 $L^2(\mathbb{R}^d)$ 初值，当 $d\ge3$、$0<b<\min\{2,\frac{d}{2}\}$ 时，质量临界非均匀非线性 Schrödinger 方程 $i\partial_t u+\Delta u=\pm|x|^{-b}|u|^{\frac{4-2b}{d}}u$ 的解的整体适定性与散射。在聚焦情形下，要求质量严格小于基态的质量。与经典 Schrödinger 情形 ($b=0$，Dodson, J. Amer. Math. Soc. (2012), Adv. Math. (2015)) 相比，非均匀情形 ($b>0$) 的主要区别在于非均匀项 $|x|^{-b}$ 的存在在原点处产生了非平凡奇点，并破坏了方程的平移对称性以及 Galilean 不变性，这使得建立剖面分解和长时间 Strichartz 估计变得更加困难。为克服这些困难，我们在 Lorentz 空间框架中执行了 Kenig 和 Merle 的集中紧致性/刚性方法 [Kenig and Merle, Invent. Math. (2006)]，并将问题归约为排除几乎周期解。这些解的排除将利用 Lorentz 空间中的分数估计和长时间 Strichartz 估计。在我们的研究中，我们观察到非均匀项 $|x|^{-b}$ 在无穷远处的衰减阻止了几乎周期解在物理空间或频率空间中的无穷远集中。因此，我们可以使用经典的 Morawetz 估计，而非相互作用 Morawetz 估计，来排除拟孤子的存在。