四维空间中能量超临界非均匀散焦NLS方程

本文研究了四维空间中能量超临界非均匀非线性薛定谔方程 $iu_t + \Delta u =|x|^{-b} |u|^\alpha u$ 的全局适定性和散射理论，其中 $s_c := 2- \frac{2-b}{\alpha} \in (1, 2)$ 且 $0<b<\min \{ (s_c-1)^2+1,3-s_c\}$。我们证明，若解在临界Sobolev空间中具有先验界，即 $u \in L_t^\infty(I; \dot{H}_x^{s_c}(\mathbb{R}^4))$，则该解是全局存在的并具有散射性。主要结果的证明基于Kenig和Merle [Invent. Math. 166 (2006)] 发展的集中紧致/刚性框架，并结合了长时间Strichartz估计、空间局域化Morawetz估计和频率局域化Morawetz估计。