五维及更高维中的聚焦能量临界非线性Schrödinger方程

我们考虑维数 $d\geq 5$ 下的聚焦能量临界非线性Schrödinger方程 $iu_t+\Delta u = - |u|^{\frac4{d-2}}u$。我们证明，若极大寿命解 $u:I\times\R^d\to \C$ 满足 $\sup_{t\in I}\|\nabla u(t)\|_2<\|\nabla W\|_2$，则该解是整体的，且在时间上向前和向后均散射。这里 $W$ 表示基态，即该方程的稳态解。特别地，若一个解在某时刻的能量和动能均小于基态 $W$ 的能量和动能，则该解是整体的且散射。我们还证明，任何以有界动能爆破的解必须至少集中基态的动能。Kenig和Merle在 \cite{Evian, kenig-merle} 中针对球对称初始数据和维数 $d=3,4,5$ 获得了类似结果。