散焦四阶 Schr"odinger 方程的散射理论

本文研究了维度 $d\geq9$ 下散焦四阶非线性 Schr"odinger 方程 (FNLS) $iu_t+\Delta^2 u+|u|^pu=0$ 的整体适定性与散射理论。我们证明，若解 $u$ 先验地有界于临界 Sobolev 空间，即 $u\in L_t^\infty(I;\dot H^{s_c}_x(\R^d))$，其中若 $p$ 为偶整数则 $s_c:=\frac{d}2-\frac4p\geq1$，否则 $s_c\in[1,2+p)$，则 $u$ 是整体的且具有散射性。研究此问题的动力源于近期一系列关于能量超临界和能量次临界非线性 Schr"odinger 方程 (NLS) 及非线性波动方程 (NLW) 的工作。我们将给出一种统一的方法来处理能量次临界、能量临界和能量超临界的 FNLS，其中利用源自集中紧性思想的策略，证明整体适定性与散射的证明可归结为排除三种场景的存在：有限时间爆破、类孤子解以及低频到高频的级联。利用无浪费 Duhamel 公式，我们推导出有限时间爆破解的能量或质量为零，从而得出矛盾。最后，我们采用双重 Duhamel 技巧、相互作用 Morawetz 估计和插值法来消除最后两种场景。