能量空间下一类非线性薛定谔方程的全局适定性及散射

我们证明具有以下幂型非线性的非线性薛定谔方程 \begin{equation*} \begin{cases} i u_t +\Delta u = |u|^p u, \quad \frac{4}{n}<p<\frac{4}{n-2}, u(0,x) = u_0(x)\in H^s(\R^n), \quad n\geq 3, \end{cases} \end{equation*} 在能量空间之下，即对任意 $s<1$，具有全局适定性与散射性。在 \cite{ckstt:low7} 中，J. Colliander、M. Keel、G. Staffilani、H. Takaoka 与 T. Tao 建立了解在 $H^s_x$ 范数下的多项式增长，从而对充分接近 1 的 $s$，证明了 $H^s_x$ 中初值的全局适定性。然而，他们的估计不足以得到散射。本文中，我们利用先验的相互作用 Morawetz 不等式证明：只要 $s$ 大于某个值 $0<s_0(n,p)<1$，散射在 $H^s(\R^n)$ 中即成立。