$\mathbb{R}^2\times\mathbb{T}$ 上聚焦三次非线性薛定谔方程的大数据全局适定性与散射

我们考虑聚焦三次非线性薛定谔方程\n\begin{align}\label{CNLSS} i\partial_t U+\Delta U=-|U|^2U\quad\text{on $\mathbb{R}^2\times\mathbb{T}$}.\tag{3NLS} \end{align}\n与三维欧几里得情形不同，方程\eqref{CNLSS}在波导流形$\mathbb{R}^2\times\mathbb{T}$上是质量临界的且非尺度不变的，因此底层分析更为微妙且具有挑战性。我们利用聚焦三次 NLS 的二维欧几里得基态给出阈值，并证明位于阈值之下的\eqref{CNLSS}解是全局的且在时间上散射的。证明依赖于若干新建立的 Gagliardo-Nirenberg 不等式，其最佳常数由二维欧几里得基态给出。同样值得注意的是，全局适定性与散射的阈值并不重合这一有趣事实。据作者所知，本文也给出了聚焦 NLS 在产品空间上首个大数据散射结果。