非齐次非线性薛定谔方程的全局存在性与散射

本文考虑非齐次非线性薛定谔方程 $i\partial_t u +\Delta u=K(x)|u|^\alpha u,\, u(0)=u_0\in H^s({\mathbb R}^N),\, s=0,\,1,$ $N\geq 1,$ $|K(x)|+|x|^s|\nabla^sK(x)|\lesssim |x|^{-b},$ $0<b<\min(2,N-2s),$ $0<\alpha<{(4-2b)/(N-2s)}$。我们得到了振荡初值的全局存在性新结果，以及在加权 $L^2$ 空间中对于新范围 $\alpha_0(b)<\alpha<(4-2b)/N$ 的散射理论。值 $\alpha_0(b)$ 是方程 $N\alpha^2+(N-2+2b)\alpha-4+2b=0$ 的正根，它推广了 $b=0$ 时已知的Strauss指数。我们的结果改进了 $K(x)=\mu|x|^{-b}$（$\mu\in \mathbb{C}$）的已知结论，并适用于更一般的势。特别地，我们展示了势在原點与无穷远处的行为对允许的 $\alpha$ 范围的影响。对于散焦情形也建立了一些衰减估计。为证明散射结果，我们给出了一个考虑势 $K$ 的新判据。