非线性薛定谔方程中向散射态的收敛

本文考虑如下非线性薛定谔方程 $iu_t+\Delta u+\lambda|u|^\alpha u = 0,$ 在 $\R^N$ 中，其中 $\lambda\in\R,$ $\alpha\in(0,\frac{4}{N-2})$（若 $N=1$ 则 $\alpha\in(0,\infty)$），且 $u(0)\in X\equiv H^1(\R^N)\cap L^2(|x|^2;dx).$ 我们证明，在适当条件下，如果解 $u$ 满足当 $t\to\pm\infty$ 时 $e^{-it\Delta}u(t)-u_\pm\to0$ 在 $X$ 中成立，则当 $t\to\pm\infty$ 时 $u(t)-e^{it\Delta}u_\pm\to0$ 在 $X$ 中成立。我们还研究了逆命题。最后，我们在一些较弱的假设下估计了 $|\:\|u(t)\|_X-\|e^{it\Delta}u_\pm\|_X\:|$。