具有组合幂型非线性项的薛定谔方程散射理论的一些结果

在本文中，我们考虑柯西问题 {align*} \{{array}{ll}&i u_t+\Delta u=\lambda_1|u|^{p_1}u+\lambda_2|u|^{p_2}u, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^N \&u(0,x)=\phi(x)\in \Sigma, \quad x\in\mathbb{R}^N, {array}. {align*} 其中 $N\geq 3$，$0<p_1<p_2\leq\frac{4}{N-2}$，$\lambda_1\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ 和 $\lambda_2\in\mathbb{R}$ 是常数，$\Sigma=\{f\in H^1(\mathbb{R}^N); |x|f\in L^2(\mathbb{R}^N)\}$。利用文献 \cite{Cazenave2, Cazenave3} 中的策略，并采用一些不同于赝共形守恒律的基本技术，我们获得了一些散射性质，部分解决了 Terence Tao、Monica Visan 和 Xiaoyi Zhang [The nonlinear Schr"{o}dinger equation with combined power-type nonlinearities, Communications in Partial Differential Equations, 32(2007), 1281--1343] 中的开放问题。作为一个副产品，我们建立了在 $\Sigma$ 中对于 {align*} \{{array}{ll}&i u_t+\Delta u=\lambda|u|^pu, \quad t\in\mathbb{R}, \quad x\in\mathbb{R}^N \&u(0,x)=\phi(x), \quad x\in\mathbb{R}^N {array}. \={align*} 的散射理论，其中 $\lambda>0$ 且 $\frac{2}{N}<p<\alpha_0$，$\alpha_0=\frac{2-N+\sqrt{N^2+12N+4}}{2N}$，这也是该方向上的一个开放问题。