带三次非线性的四阶非线性薛定谔方程的随机数据柯西理论

我们考虑在 $\mathbb{R} ^d$, $d \ge 3$ 上带导数非线性 $(i\partial _t + \Delta ^2) u= \pm \partial (|u|^2u)$ 的四阶非线性薛定谔方程的柯西问题，具有随机初值，其中 $\partial$ 是关于空间变量的一阶偏导数，例如 $\frac{\partial}{\partial x_1} , \, \dots , \, \frac{\partial}{\partial x_d}$ 的线性组合或 $|\nabla |= \mathcal{F}^{-1}[|\xi | \mathcal{F}]$。我们证明几乎必然的局部时间适定性、小数据整体时间适定性和散射在 $H^s(\mathbb{R} ^d)$ 中成立，其中 $\max ( \frac{d-5}{2}, \frac{d-5}{6}) < s$，其下界低于尺度临界正则性 $s_c= \frac{d-3}{2}$。