临界非齐次非线性薛定谔方程在 $H^{s}(\mathbb R^{n})$ 中的柯西问题

在本文中，我们研究临界非齐次非线性薛定谔（INLS）方程的柯西问题 $$iu_{t}+\Delta u=|x|^{-b} f(u), ~u(0)=u_{0} \in H^{s} (\mathbb R^{n} ),$$ 其中 $n\ge3$，$1\le s<\frac{n}{2}$，$0<b<2$ 且 $f(u)$ 是一个非线性函数，其性态类似于 $\lambda \left|u\right|^{\sigma } u$，其中 $\lambda \in \mathbb C$ 且 $\sigma =\frac{4-2b}{n-2s}$。在某些关于 $b$ 的假设下，我们建立了临界 INLS 方程在 $1\le s<\frac{n}{2}$ 时 $H^{s} (\mathbb R^{n} )$ 中的局部适定性以及小数据全局适定性与散射。为此，我们首先利用分数阶 Hardy 不等式建立各种非线性估计，然后基于 Strichartz 估计使用压缩映射原理。