关于临界 Hardy-Sobolev 类型非线性方程的规范 L^2 范数解

我们关注寻找不规则非线性 Schr"{o}dinger (INLS) 方程中规定 $L^2$ 范数解的问题。对于 $N\ge 3$，我们处理具有组合 Hardy-Sobolev 幂类型非线性的方程 $$-\Delta u+\lambda u=\mu|x|^{-b}|u|^{q-2}u+|x|^{-d}|u|^{2^*_{d}-2}u \ \ \ \ \mbox{in}\,\ \mathbb{R}^N,\, N\ge 3$$其中 $\lambda\in\mathbb{R}$，$\mu>0$，$0<b,d<2$，$2+(4-2b)/N<q<2+(4-2b)/(N-2)$，且 $2^*_{d}= 2(N-d)/(N-2)$ 为 Hardy-Sobolev 临界指数；对于 $N=2$，我们研究具有临界指数增长的方程 $$ \begin{equation}\nonumber \begin{aligned} &-\Delta u+\lambda u=|x|^{-b}f(u) \ \ \ \ \mbox{in}\,\ \mathbb{R}^2 \end{aligned} \end{equation}其中非线性 $f(s)$ 在 $s\to\infty$ 时类似于 $\exp(s^2)$。我们将 Alves-Ji-Miyagaki (Calc. Var. 61, 2022) 的存在结果从 $b =d= 0$ 推广到 $0 < b,d < 2$ 的情况。