关于非齐次双调和非线性薛定谔方程的若干注记

我们考虑非齐次双调和非线性薛定谔方程 $$i u_t +\Delta^2 u+\lambda|x|^{-b}|u|^\alpha u = 0,$$ 其中 $\lambda=\pm 1$ 且 $\alpha$、$b>0$。在次临界情形，我们改进了文献 \cite{GUZPAS} 在 Sobolev 空间 $H^2(\mathbb{R}^N)$ 中对维数 $N=5,6,7$ 所得到的整体适定性结果。建立我们结果的基本工具是与线性问题相关的标准 Strichartz 估计以及 Hardy-Littlewood 不等式。我们也报告了关于能量临界情形即 $\alpha=\frac{8-2b}{N-4}$ 的结果。更确切地说，我们展示了在临界空间 $\dot{H}^2$ 中初值的适定性及一个稳定性结果。