非齐次双调和非线性薛定谔方程的全局适定性与临界范数集中

我们考虑 $\mathbb{R}^N$ 中的非齐次双调和非线性薛定谔（IBNLS）方程，$$i \partial_t u +\Delta^2 u -|x|^{-b} |u|^{2\sigma}u = 0,$$ 其中 $\sigma>0$ 且 $b>0$。我们首先研究在 $N\geq 5$ 且 $0<s_c<2$ 时于 $\dot H^{s_c}\cap \dot H^2$ 中的局部适定性，其中 $s_c=\frac{N}{2}-\frac{4-b}{2\sigma}$。接下来，我们建立了一个 Gagliardo-Nirenberg 型不等式，以获得在 $0\leq s_c<2$ 时 $\dot H^{s_c}\cap \dot H^2$ 中解全局存在的充分条件。最后，我们研究了具有有界 $\dot H^{s_c}$-范数的有限时间爆破解的 $L^{\sigma_c}$-范数集中现象，其中 $\sigma_c=\frac{2N\sigma}{4-b}$。我们的主要工具是 $\dot L^p\cap \dot H^2$ 到加权 $L^{2\sigma+2}$ 空间的紧嵌入，这本身可能具有独立的意义。