广义导数非线性薛定谔方程的全局适定性

我们研究广义导数非线性薛定谔方程（gDNLS）$$iu_t+u_{xx}=i|u|^{2\sigma}u_x$$ 在小幂次$\sigma$下的适定性。我们在低正则性和高正则性下分析该方程，并能够在$s\in [1,4\sigma)$且$\sigma \in (\frac{\sqrt{3}}{2},1)$时建立$H^s$中的全局适定性。我们$s=1$的结果尤为相关，因为它对应于该问题能量的正则性。据我们所知，这是首个针对拟线性色散模型的低正则性适定性结果，其中非线性项既粗糙又缺乏全局光滑型估计所需的衰减性。这两个特征在尝试应用标准工具来闭合低正则性估计时造成了相当大的困难。虽然本文中发展的工具被用于研究gDNLS，但我们相信它们应适用于研究其他具有类似特征的色散方程的局部适定性。还应注意的是，高正则性适定性提出了一个新问题，因为非线性项的粗糙性限制了解的潜在正则性。我们的高正则性适定性阈值$s<4\sigma$是朴素预期的两倍，因为函数$z\mapsto |z|^{2\sigma}$仅是$C^{1,2\sigma-1}$ Hölder连续的。此外，尽管当$\sigma\leq \frac{\sqrt{3}}{2}$时我们无法证明$H^1$适定性，但我们能够在$\sigma\in (\frac{1}{2},1)$的全范围内，在高正则性区域$s\in (2-\sigma,4\sigma)$中建立$H^s$适定性。这极大地改进了已知的局部结果，这些结果此前仅在$H^2$或加权Sobolev空间中建立。