关于动力学导数 NLS 在 $\mathbb{R}$ 上的局部和全局良定性

我们研究动力学导数非线性薛定谔方程（KDNLS）在 $\mathbb{R}$ 上的局部和全局良定性，方程为\n\n$$i\partial_t u + \partial_x^2 u = i\alpha \partial_x (|u|^2 u) + i\beta \partial_x (H(|u|^2) u),$$\n\n其中 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$，$H$ 表示希尔伯特变换。对于KDNLS，当 $\beta$ 为负时，解的 $L^2$ 范数递减（分别为增大、守恒），当 $\beta$ 为正或零时为增大或守恒。我们聚焦于 Sobolev 空间 $H^2$ 和 $H^2 \cap H^{1,1}$，通过能量方法结合 gauge 变换来处理正负 $\beta$ 情形下的共振相互作用，从而建立局部良定性。对于耗散情形 $\beta < 0$，我们进一步通过导出 $H^2$ 空间中的先验界来证明全局良定性。