能量空间中带导数的非线性 Schr"{o}dinger 方程的整体适定性

在本文中，我们证明了存在某个小量 $\varepsilon_*>0$，使得只要初值 $u_0\in H^1(\mathbb{R})$ 满足 $\|u_0\|_{L^2}<\sqrt{2\pi}+\varepsilon_*$，带导数的非线性 Schr"{o}dinger 方程（DNLS）在能量空间中是整体适定的。这一结果表明，即使能量为负，也不存在质量略超过 $2\pi$ 的爆破解。这种现象与具有临界非线性的非线性 Schr"odinger 方程的行为大不相同。所用技术是变分论证结合动量守恒律。此外，对于半直线 $\mathbb{R}^+$ 上的 DNLS，我们证明了具有负能量的解会发生爆破。