三维聚焦能量临界非线性薛定谔方程的全局弱解

本文中，我们证明了三维聚焦能量临界非线性薛定谔（NLS）方程在非径向情形全局弱解的存在性。此外，我们对某类初数据证明了弱-强唯一性。我们新方法的主要要素是使用能量临界 Ginzburg-Landau 方程的解作为相应非线性薛定谔方程的近似。在证明中，我们首先证明了当能量小于定态解 $W$ 的能量时，对 $d = 3,4$，能量临界 Ginzburg-Landau 方程在 $\dot{H}^1( \mathbb{R}^d)$ 中全局适定性与有限时间爆破的二分性。我们遵循 C. E. Kenig 与 F. Merle [25,26] 的策略，使用集中-紧致/刚性论证将全局适定性归约为排除一个临界元。该临界元由 Ginzburg-Landau 方程的耗散（包括局部光滑性、向后唯一性与唯一延拓）排除。三维聚焦能量临界非线性薛定谔方程在非径向情形全局弱解的存在性随后由能量临界 Ginzburg-Landau 方程的全局适定性通过极限论证得到。我们还改编了 M. Struwe [37,38] 的论证，在初数据的 $\dot{H}^1$-范数由依赖于定态解 $W$ 的常数界定时证明弱-强唯一性。