环面上动力学导数非线性薛定谔方程柯西问题的适定性

我们考虑环面上的动力学导数非线性薛定谔方程的柯西问题：$$\partial_t u - i \partial_x^2 u = \alpha \partial_x \big( |u|^2 u \big) + \beta \partial_x \big[ H \big( |u|^2 \big) u \big] , \quad (t, x) \in [0,T] \times \mathbf{T},$$ 其中常数 $\alpha,\beta$ 满足 $\alpha \in \mathbf{R}$ 且 $\beta <0$，$H$ 表示希尔伯特变换。该方程具有耗散性，能量方法可用于证明在 Sobolev 空间 $H^s$（$s>3/2$）中柯西问题的局部适定性。然而，当 $\beta =0$ 时用于处理非线性项中导数损失的规范变换技术，由于希尔伯特变换的存在而无法直接适用。特别地，关于低正则性空间中的局部适定性或柯西问题的全局可解性尚无结果。在本文中，我们将证明对于 $H^s(\mathbf{T})$（$s>1/2$）中的小初值，柯西问题的局部与全局适定性。为此，除了具有三次非线性的非线性薛定谔方程通常的色散型光滑效应外，我们还利用了由非局部非线性项 $\beta \partial_x [H(|u|^2)u]$ 的共振部分产生的抛物型光滑效应。作为证明的副产品，我们还获得了光滑效应与时间反演不适定性结果。