三维紧致流形上聚焦立方非线性薛定谔方程粗糙解的整体适定性

本文研究了定义在三维紧致流形 $(M,g)$ 上的立方非线性薛定谔方程(NLS) $i\partial_tu+\Delta_gu=|u|^2u$ 的整体适定性，其初始数据为 $u_0\in H^s(M)$，其中对于Zoll流形 $s>\frac{\sqrt{21}-1}{4}$，对于球面乘积 $\Bbb{S}^2\times\Bbb{S}^1$ $s>\frac{1+3\sqrt{5}}{8}$。我们利用紧致流形上的多重本征函数估计来处理不同频率间的相互作用，相比于平坦环面 [C. Fan, G. Staffilani, H. Wang, B. Wilson, Anal. PDE, 11 (2018), 919-944.] 和波导流形 [Z. Zhao, J. Zheng, SIAM J. Math. Anal. 53 (2020), 3644-3660.] 的情形，该相互作用更为复杂。此外，结合适用于非周期情形的I-method、双线性Strichartz估计以及尺度不变的 $L^p$ 线性Strichartz估计，我们在非平坦紧致流形设定下部分获得了与 [Z. Zhao, J. Zheng, SIAM J. Math. Anal. 53 (2020), 3644-3660.] 相似的结果。作为推论，我们获得了解 $u$ 的 $H^s$ 范数的多项式界。