四阶三次非线性薛定谔方程的低正则性先验估计

我们考虑四阶三次非线性薛定谔方程（4NLS）的低正则性行为 \begin{align*} \begin{cases} i\partial_tu+\partial_x^4u=\pm \vert u \vert^2u, \quad(t,x)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\\ u(x,0)=u_0(x)\in H^s\left(\mathbb{R}\right). \end{cases} \end{align*} 在 arXiv:1911.03253 中，作者证明了该方程在 $H^s, s\geq -\frac{1}{2}$ 中整体适定，并且在 $-\frac{15}{14}<s<-\frac{1}{2}$ 意义上解映射不一致连续从而不适定。因此，$s=-\frac{1}{2}$ 是压缩论证能处理的最低正则性。尽管有此不适定结果，我们在 $s<-1/2$ 以下获得了先验界。该先验估计保证了在 $-3/4<s<-1/2$ 中弱解的存在性。但由于缺乏解之差的能量估计，我们无法建立完全的适定性。我们的方法受 Koch-Tataru \cite{KT2007} 启发。我们使用了基于 $U^p$ 和 $V^p$ 的、适应于频率依赖时间区间的空间，在这些区间上非线性演化仍可由线性动力学描述。