高阶展开下的广义三次非线性 Schrödinger 方程的概率良定性

本文研究了三次 Schrödinger 方程的局部良定性问题：$(i\partial_t + \mathcal{L}) u = \pm |u|^2 u \qquad \textrm{on} \quad I\times \mathbb{R}^d ,$，其中初始数据为尺度为单位的给定函数 $f$ 的 Wiener 随机化，$\mathcal{L}$ 为次数$\sigma\geq 2$ 的算子。特别地，我们证明只要 $f\in H^{S}_{x}(\mathbb{R}^{d})$ 且 $S>\frac{2-\sigma}{4}$ 对于 $d\leq \frac{3\sigma}{2}$，即使初始数据取于一定负序 Sobolev 空间中，也几乎必然地在有限时间内存在解。解通过将流的明确多线性展开表示为随机初始数据的函数序列，加上一个在确定性意义下次标量正则性的附加光滑余项来构造。我们发展了方向性时空范数的框架，以控制（概率性）多线性展开和（确定性）余项，并获得改进的双线性概率-确定性 Strichartz 估计。