Sobolev 空间中非齐次双调和 NLS 的小数据整体适定性

本文研究非齐次双调和非线性薛定谔方程（IBNLS）的柯西问题 $$iu_{t} +\Delta^{2} u=\lambda |x|^{-b}|u|^{\sigma}u,u(0)=u_{0} \in H^{s} (\mathbb R^{d}),$$ 其中 $\lambda \in \mathbb R$，$d\in \mathbb N$，$0<s<\min \{2+\frac{d}{2},\frac{3}{2}d\}$ 且 $0<b<\min\{4,d,\frac{3}{2}d-s,\frac{d}{2}+2-s\}$。在对非线性项作若干正则性假设下，我们证明当 $\frac{8-2b}{d}<\sigma< \sigma_{c}(s)$ 且初值充分小时，IBNLS 方程在 $H^{s}(\mathbb R^{d})$ 中整体适定，其中若 $s<\frac{d}{2}$ 则 $\sigma_{c}(s)=\frac{8-2b}{d-2s}$，若 $s\ge \frac{d}{2}$ 则 $\sigma_{c}(s)=\infty$。