一类 $H^s$-超临界数据的 NLS 的全局适定性

我们研究具有一类 $H^s$-超临界数据的 NLS 的柯西问题 \begin{align} & {\rm i}u_t +\Delta u+ \lambda |u|^{2\kappa} u =0, \quad u(0)=u_0 \label{NLSabstract} \end{align} 并证明对于充分小的数据，\eqref{NLSabstract} 在 $\alpha$-调制空间 $M^{s,\alpha}_{2,1}$ ($\alpha\in [0,1), \ s> d\alpha/2-\alpha/\kappa$, $\kappa\in \mathbb{N}$ 且 $\kappa \geq 2/d$) 中是全局适定且散射的。此外，若 $s< d\alpha/2-\alpha/\kappa$，则 NLS 在 $M^{s,\alpha}_{2,1}$ 中是不适定的。特别地，我们获得一类初始数据 $u_0$，满足对任意 $M\gg 1$，\begin{align} \|u_0\|_2 \sim M^{1/\kappa-d/2 }, \ \ \|u_0\|_\infty \ =\infty , \ \ \|u_0\|_{M^{s,\alpha}_{2,1}} \geq M^{(1-\alpha)/\kappa}, \ \ \ \|u_0\|_{B^{s(\kappa)}_{2,\infty}} =\infty \nonumber \end{align} 使得若 $\kappa>2/d, \ \alpha\in [0,1)\ d\alpha/2-\alpha/\kappa <s < s(\kappa):= d/2-1/\kappa$，则 NLS 在 $M^{s,\alpha}_{2,1}$ 中全局适定。此类数据在 $H^{s(\kappa)}$ 中是超临界的且具有无穷幅度。