超临界空间中非线性Klein-Gordon方程的整体柯西问题

通过引入一类新函数空间 $B^{\sigma,s}_{p,q}$ 作为求解空间，我们研究了所有空间维数 $d \geqslant 1$ 下非线性 Klein-Gordon 方程（NLKG）的柯西问题，$$\partial^2_t u + u- \Delta u + u^{1+\alpha} =0, \ \ (u, \partial_t u)|_{t=0} = (u_0,u_1).$$ 我们考虑超临界函数空间 $E^{\sigma,s} \times E^{\sigma-1,s}$ 中的初值 $(u_0,u_1)$，其范数定义为 $$\|f\|_{E^{\sigma,s}} = \|\langle\xi\rangle^\sigma 2^{s|\xi|}\widehat{f}(\xi)\|_{L^2}, \ s<0, \ \sigma \in \mathbb{R}.$$ 任意 Sobolev 空间 $H^{\kappa}$ 均可嵌入 $E^{\sigma,s}$，即对任意 $\kappa,\sigma \in \mathbb{R}$ 与 $s<0$ 有 $H^\kappa \subset E^{\sigma,s}$。我们证明了若初值属于某 $E^{\sigma,s} \times E^{ \sigma-1,s}$（$s<0, \ \sigma \geqslant \max (d/2-2/\alpha, \, 1/2), \ \alpha\in \mathbb{N}, \ \alpha \geqslant 4/d$）且其傅里叶变换支撑于第一卦限，则 NLKG 解整体存在且唯一，且整体解不要求初值在 $E^{\sigma,s} \times E^{\sigma-1,s}$ 中的小性条件。对于 sinh-Gordon 方程 $\partial^2_t u - \Delta u + \sinh u=0$，当空间维数 $d \geqslant 2$ 时类似结果成立。