临界正则性下的广义Zakharov-Kuznetsov方程

考虑了空间维度 $n=2$ 和 $n=3$ 下整数指数 $k \ge 3$ 的广义Zakharov-Kuznetsov方程的柯西问题 $$\partial_t u +\partial_x\Delta u=\partial_x u^{k+1}, \qquad \qquad u(0)=u_0$$。对于数据 $u_0 \in \dot{B}^{s_c}_{2,q}$，其中 $1\le q \le \infty$ 且 $s_c=\frac{n}{2}- \frac{2}{k}$ 为临界Sobolev正则性，证明了该问题在局部是适定的，并且若数据足够小则是全局适定的。证明遵循Kenig、Ponce和Vega的思想，并使用了相应线性方程的估计，如局部光滑效应、Strichartz估计和极大函数不等式。这些被插入到由Koch和Tataru引入的函数空间 $U^p$ 和 $V^p$ 的框架中。