On the near soliton dynamics for the 2D cubic Zakharov-Kuznetsov equations

本文考虑二维三次（质量临界）Zakharov-Kuznetsov方程的Cauchy问题：$$\partial_t u+\partial_{x_1}(\Delta u+u^3)=0,\quad (t,x)\in [0,\infty)\times \mathbb{R}^{2}.$$对于在H^1空间接近孤子且具有适当空间衰减性质的初始数据，我们完全描述了相应解的渐近行为。更准确地说，对于此类初始数据，我们显示只有三种可能的行为：1)解在有限时间内离开孤子附近的管道；2)解在有限时间内爆炸；3)解为全局的，并且在局部上收敛于孤子。此外，我们表明，对于能量为非正且质量超过阈值的孤子附近的初始数据，相应的解将如第2案中描述的那样爆炸。我们的证明受到针对类似上下文中质量临界广义Korteweg-de Vries方程（gKdV）方程的Martel-Merle-Raphaël所发展技术的启发。更准确地说，我们的证明依赖于 refined调制估计和修改的能量-毛利 Lyapunov函数。本问题的主要挑战是Schrödinger算子在virial类型估计中的缺乏 coercivity。为克服这一困难，我们应用了Kenig-Martel中引入的变换，将原问题转换为其伴随问题后进行virial计算。Schrödinger算子在伴随问题中的coercivity由Farah-Holmer-Roudenko-Yang数值验证。