二维立方Zakharov-Kuznetsov方程中孤子的不稳定性

我们考虑Korteweg-de Vries方程的二维推广，即广义Zakharov-Kuznetsov（ZK）方程，$u_t + \partial_{x_1}(\Delta u + u^p) = 0, (x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2$。已知对于非线性项 $p < 3$ 孤子稳定，而 $p > 3$ 时不稳定，这由Anne de Bouard在[5]中推广Bona-Souganidis-Strauss在[1]中关于gKdV方程的论证所确立。$L^2$临界情形 $p=3$ 一直悬而未决，本文我们证明立方ZK方程中孤子是不稳定的。这与临界gKdV方程的情况一致，后者由Martel和Merle于2001年在[22]中证明。虽然总体策略遵循[22]，但二维情形带来若干困难；为应对这些困难，我们设计了一个新的virial型量，重审单调性性质，且最重要的是发展了新的逐点衰减估计，这些在其他情形下也可能有用。