Zakharov-Kuznetsov方程线孤立波的稳定性

本文考虑二维Zakharov-Kuznetsov方程在$\mathbb{R}\times\mathbb{T}_L$上线孤立波的稳定性，该方程是Korteweg-de Vries方程的高维推广之一，其中$\mathbb{T}_L$是周期为$2\pi L$的环面。Korteweg-de Vries方程单孤立子在能量空间上的轨道稳定性和渐近稳定性已由Benjamin、Pego和Weinstein以及Martel和Merle证明。我们将Korteweg-de Vries方程的单孤立子视为$\mathbb{R}\times\mathbb{T}_L$上Zakharov-Kuznetsov方程的线孤立波。通过应用Evans函数方法和Rousset与Tzvetkov的论证，我们证明了Zakharov-Kuznetsov方程线孤立波的稳定性与横向不稳定性。此外，利用Martel和Merle的论证、Liouville型定理以及修正的维里型估计，我们证明了Zakharov-Kuznetsov方程轨道稳定线孤立波的渐近稳定性。