三维中$L^2$临界广义Zakharov-Kuznetsov方程的柯西问题

我们证明了三维中$L^2$临界广义Zakharov-Kuznetsov方程在$H^s, \, s \in (3/4,1)$中的局部适定性。我们还证明该方程对初值$u_0 \in H^s, \, s \in [1,2)$是“几乎适定”的，其意义在于解属于某个交集$C([0,T] : H^s(\mathbb{R}^3)) \cap X^s_T$且在该类中唯一，其中我们可确保数据到解映射在仅稍大的空间中连续。我们还证明解在整体$s \in (3/4,2)$范围内满足预期的$L^2$质量守恒，以及在$s \in (1,2)$范围内的能量守恒。通过极限论证，这尤其意味着$H^1$中小初值的整体存在性。最后，我们研究了初值问题解到初值的几乎处处（a.e.）收敛问题。