超临界广义KdV方程：能量空间及以下的整体适定性

我们考虑广义Korteweg-de Vries (gKdV)方程 $\partial_t u+\partial_x^3u+\mu\partial_x(u^{k+1})=0$，其中 $k\geq5$ 是整数，$\mu=\pm1$。在聚焦情形 ($\mu=1$) 下，我们证明：若初始数据 $u_0$ 属于 $H^1(\R)$ 且满足 $E(u_0)^{s_k} M(u_0)^{1-s_k} < E(Q)^{s_k} M(Q)^{1-s_k}$，$E(u_0)\geq0$，以及 $\|\partial_x u_0\|_{L^2}^{s_k}\|u_0\|_{L^2}^{1-s_k} < \|\partial_x Q\|_{L^2}^{s_k}\|Q\|_{L^2}^{1-s_k}$，其中 $M(u)$ 和 $E(u)$ 分别是质量和能量，则相应的解在 $H^1(\R)$ 中是整体的。这里，$s_k=\frac{(k-4)}{2k}$，$Q$ 是对应于 gKdV 方程的基态解。在散焦情形 ($\mu=-1$) 下，若 $k$ 为偶数，我们证明 Cauchy 问题在 Sobolev 空间 $H^s(\mathbb{R})$ ($s>\frac{4(k-1)}{5k}$) 中是整体适定的。