$\mathbb{R}$ 上耦合 KdV-KdV 系统的局部适定性

受近期 Korteweg-de Vries (KdV) 方程 Cauchy 问题适定性理论在 $H^{s} (\mathbb{R})$（或 $H^{s} (\mathbb{T})$）空间中研究成功完成的启发，我们研究一类耦合 KdV-KdV (cKdV) 系统 Cauchy 问题在 $\mathcal{H}^s (\mathbb{R}) := H^s (\mathbb{R})\times H^s (\mathbb{R})$ 空间中的适定性 $$\left\{\begin{array}{rcl} u_t+a_{1}u_{xxx} &=& c_{11}uu_x+c_{12}vv_x+d_{11}u_{x}v+d_{12}uv_{x},\\ v_t+a_{2}v_{xxx}&=& c_{21}uu_x+c_{22}vv_x +d_{21}u_{x}v+d_{22}uv_{x},\\ \left. (u,v)\right |_{t=0} &=& (u_{0},v_{0}) \end{array}\right.$$ 典型例子包括 Gear-Grimshaw 系统、Hirota-Satsuma 系统和 Majda-Biello 系统等。本文寻求使 cKdV 系统在 $\mathcal{H}^s (\mathbb{R})$ 中适定的 $s\in \mathbb{R}$ 的取值。我们的发现使我们能基于系数 $a_i$、$c_{ij}$ 和 $d_{ij}$（$i,j=1,2$）对 cKdV 系统在 $\mathcal{H}^s (\mathbb{R})$ 中的解析适定性给出完整分类。证明中的关键要素是 Fourier 限制空间范数下的双线性估计。有四类双线性估计需要研究，我们对其均建立了尖锐结果。与单个 KdV 方程唯一的临界指数 $-\frac{3}{4}$ 不同，cKdV 系统的临界指数为 $-\frac{13}{12}$、$-\frac{3}{4}$、$0$ 和 $\frac{3}{4}$。因此，cKdV 系统被分为四类，每一类对应唯一指标 $s^{*}\in\{-\frac{13}{12},\,-\frac{3}{4},\,0,\,\frac{3}{4}\}$，使得该类中任一系统在 $s>s^{*}$ 时局部解析适定，而在 $s<s^{*}$ 时双线性估计失效。