关于某些耦合 KdV 方程组的局部适定性

利用 Kenig、Ponce 和 Vega 发展的理论，我们证明了 Hirota-Satsuma 系统在 Sobolev 空间 $H^s(\mathbb{R}) \times H^{s}(\mathbb{R})$ 中对于 $3/4<s\le1$ 是局部适定的。我们引入了一些针对 $a\not =0$，$s,b \in \mathbb{R}$ 的 Bourgain 型空间 $X_{s,b}^a$，通过建立涉及两个分别适配于 $\partial_t+\alpha_-\partial_x^3$ 和 $\partial_t+\alpha_+\partial_x^3$ 的 Bourgain 型空间 $X_{s,b}^{-\alpha_-}$ 和 $X_{s,b}^{-\alpha_+}$ 的新混合双线性估计（其中 $|\alpha_+|=|\alpha_-|\not = 0$），从而获得了 Gear-Grimshaw 系统在 $H^s(\mathbb{R})\times H^s(\mathbb{R})$ 中对于 $s>-3/4$ 的局部适定性。