“好”Boussinesq 方程的尖锐局部适定性

在本文中，我们证明了环面 $\mathbb{T}$ 上“好”Boussinesq 方程的尖锐局部适定性与不适定性结果；该初值问题在 $H^{-1/2}(\mathbb{T})$ 中是局部适定的，而在 $H^s(\mathbb{T})$（$s<-1/2$）中是不适定的。适定性结果通过将问题约化为一个二次非线性 Schrödinger 方程，并在适当修正的 $X^{s,b}$ 空间中使用压缩映射论证获得。这些空间中关键双线性估计的证明，尤其是在最低正则性下，依赖于一维周期函数在 $X^{s,b}$ 空间中的一些双线性估计，这些估计是 $\mathbb{R}$ 上 $L^4$ Strichartz 估计的双线性精细化的推广。我们的结果将 Oh 和 Stefanov（2012）给出的 $H^s(\mathbb{T})$（$s>-3/8$）中的已知局部适定性改进至正则性阈值 $H^{-1/2}(\mathbb{T})$。类似的想法也建立了非周期情形下 $H^{-1/2}(\mathbb{R})$ 中的尖锐局部适定性及低于 $H^{-1/2}$ 的不适定性，这将 Tsugawa 和作者（2010）在 $H^s(\mathbb{R})$（$s>-1/2$）中的结果改进至极限正则性。